前几天舍友问了我一个关于概率分布的问题，已知$X_1$与$Y$独立，$X_2$与$Y$独立，是否可以推导出来$X_1$和$X_2$的联合分布$(X_1,X_2)$与$Y$独立？实际上这个问题我以前在做密码协议作业的时候，也隐约遇到过，我的第一想法是独立的，感觉上是这样，但我在实际证明过程中发现并不好证，总是无法完美推导出独立。

    后来开始转变思路，看一下能不能推导出来不独立。考虑反证法，若此命题成立，则有

$$Pr[X_1=a,X_2=b,Y=c]=Pr[X_1=a,X_2=b]Pr[Y=c]$$

如果我们再加一个条件$X_1$与$X_2$独立，那么就有

$$Pr[X_1=a,X_2=b,Y=c]=Pr[X_1=a,X_2=b]Pr[Y=c]=Pr[X_1=a]Pr[X_2=b]Pr[Y=c]$$

那这样岂不是可以推导出来$X_1,X_2,Y$两两独立一定相互独立？但两两独立不一定是相互独立的，故矛盾，$(X_1,X_2)$与$Y$不一定独立。

    其实也就是说对$X_1,X_2,Y$，原命题只是有可能成立的，并不是一定成立。这个命题非常直观，但它是否正确的证明还是需要仔细推敲的。