张量积也叫做直积，定义是非常简单的，现阶段我应该只要知道定义，会用就行了，至于张量积背后有什么数学上的考虑我就先不管了，后面如果遇到了，有机会再总结吧。
    给定矩阵$A$和$B$，它们的直积定义如下：

$$A \otimes B = \left[ \begin{array}{*{20}{c}} a_{11}B&a_{12}B& \cdots &a_{1n}B\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1}B&a_{m2}B& \cdots &a_{mn}B \end{array} \right]$$

直积的性质比较多，大多都比较平凡，但有一些还是挺有趣的，常用性质如下，比较简单的性质我就不证明了，个别性质给出了证明。

1 $0 \otimes A=A \otimes 0=0$

2 $(A_1+A_2) \otimes B = A_1 \otimes B +A_2 \otimes B$,$A\otimes(B_1+B_2)=A\otimes B_1 +A\otimes B_2$

3 $(\alpha A)\otimes (\beta B)=\alpha \beta (A \otimes B)$

4 $(A \otimes B) \otimes C =A \otimes (B \otimes C)$

5 $(A\otimes B)(C \otimes D)=(AC)\otimes (BD)$

    这个性质看起来就不那么平凡，有点像同构映射保持运算不变的性质，具体证明并不复杂，首先$A$和$C$都是$n$级矩阵，$B$和$D$都是$m$级矩阵，则有

$$A=(a_{ij}) , C=(c_{ij})$$ $$B=(b_{ij}) , D=(d_{ij})$$ $$(A \otimes B)(C \otimes D) = \left[ \begin{array}{*{20}{c}} a_{11}B&a_{12}B& \cdots &a_{1n}B\\ a_{21}B&a_{22}B& \cdots &a_{2n}B\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ a_{n1}B&a_{n2}B& \cdots &a_{nn}B \end{array} \right] \left[ \begin{array}{*{20}{c}} c_{11}D&c_{12}D& \cdots &c_{1n}D\\ c_{21}D&c_{22}D& \cdots &c_{2n}D\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ c_{n1}D&c_{n2}D& \cdots &c_{nn}D \end{array} \right] =$$ $$\left[ \begin{array}{*{20}{c}} \sum\limits_{i = 1}^n a_{1j}c_{j1}BD &\sum\limits_{i = 1}^n a_{1j}c_{j2}BD& \vdots &\sum\limits_{i = 1}^n a_{1j}c_{jn}BD \\ \sum\limits_{i = 1}^n a_{2j}c_{j1}BD &\sum\limits_{i = 1}^n a_{2j}c_{j2}BD& \vdots &\sum\limits_{i = 1}^n a_{2j}c_{jn}BD \\ \cdots & \cdots &{}& \cdots \\ \sum\limits_{i = 1}^n a_{nj}c_{j1}BD &\sum\limits_{i = 1}^n a_{nj}c_{j2}BD& \vdots &\sum\limits_{i = 1}^n a_{nj}c_{jn}BD \end{array} \right] = (AC) \otimes (BD)$$

实际上可以简单扩展，只要$A$和$C$可乘，$B$和$D$可乘，这条性质就是成立的。

6 $(A \otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}$

    这个性质看起来也不平凡，但实际上可以用前面的性质证明，并不复杂。首先有

$$(A \otimes B)(A^{ - 1} \otimes B^{ - 1}) = (AA^{ - 1}) \otimes (BB^{ - 1}) = I_n \otimes I_m = I_{nm}$$

所以显然有$(A \otimes B)$是可逆的，且$(A \otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}$。

7 $(A \otimes B)^T=A^T \otimes B^T$

8 两个上(下)三角矩阵的直积还是上下三角阵

9 两个$Hermite$矩阵的直积还是$Hermite$矩阵

    这个的证明也并不复杂，主要利用了前面的性质：

$$(A \otimes B)^\dagger= \overline{((A \otimes B)^T)}=\overline{(A^T \otimes B^T)}=(\overline{A^T} \otimes \overline{B^T})=(A \otimes B)$$

显然$(A \otimes B)$的共轭转置就是它本身，原命题得证。

9 两个酉矩阵的直积还是酉矩阵

    这个的证明也并不复杂，主要利用了前面的性质：

$$(A \otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}=A^\dagger \otimes B^\dagger=(A \otimes B)^\dagger$$

显然$(A \otimes B)$的逆矩阵就是它的共轭转置，原命题得证。

10 $tr(A \otimes B)=tr(A)tr(B)$

11 $rank(A \otimes B)=rank(A)rank(B)$

12 $|A \otimes B|=|A|^m |B|^n, A \in \mathbb{C}^{nn}, B \in \mathbb{C}^{mm}$

    这个的证明也并不复杂，主要利用了前面的性质：

$$\begin{aligned} |A \otimes B|&=|(AI_n) \otimes (I_mB)|=|(A \otimes I_m)(I_n \otimes B)|\\ &=|A \otimes I_m||I_n \otimes B|\\ &= \left[ \begin{array}{*{20}{c}} a_{11}I_m&a_{12}I_m& \cdots &a_{1n}I_m\\ a_{21}I_m&a_{22}I_m& \cdots &a_{2n}I_m\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ a_{n1}I_m&a_{n2}I_m& \cdots &a_{nn}I_m \end{array} \right] \left[ \begin{array}{*{20}{c}} B&0& \cdots &0\\ 0&B& \cdots &0\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ 0&0& \cdots &B \end{array} \right] \\ &=|A|^m|B|^n \end{aligned}$$

    暂时就总结了这几个性质，以后遇到新的再进行总结。