一 伴随变换的定义与性质

    设$\mathcal{A}$是酉空间$V$上的一个线性变换，如果存在$V$上的一个线性变换$\mathcal{B}$，满足

$$(\mathcal{A}\alpha,\beta)=(\alpha,\mathcal{B}\beta), \forall \alpha ,\beta \in V$$

那么称$\mathcal{B}$是$\mathcal{A}$的一个伴随变换。

    定义非常简单，但伴随变换和之前写的酉变换，$Hermite$变换有很大区别，因为酉变换，$Hermite$变换都是一个变换的一些性质，而伴随变换是两个变换$\mathcal{B}$与$\mathcal{A}$的特殊性质。当然也可显然看出，$Hermite$变换的伴随变换就是它本身，所以$Hermite$变换也叫作自伴随变换。

    伴随变换，对于我来说，至少现在，我只要知道它的定义就可以了，不用太深究，能理清这些定义之间的联系就很好了。下面给出伴随变换的一些基础定理。

1.1 对于$n$维酉空间$V$上的任意一个线性变换$\mathcal{A}$都有伴随变换$\mathcal{B}$，且此伴随变换必然唯一

    既然伴随变换是两个变换之间的关系，那存在性和唯一性问题就是非常平凡的问题，这个的证明需要双线性函数的一些性质，具体证明见丘维声高等代数学习指导书下册的642页。

1.2 设$\mathcal{A}$是$n$维酉空间上的一个线性变换，如果$\mathcal{A}$在$V$的一个标准正交基$ \eta_1,\cdots,\eta_n$下的矩阵为$A$，那么$\mathcal{A}$的伴随变换$\mathcal{B}$在这个标准正交基下的矩阵是$A^ \dagger$

    这个的证明非常简单，设$A=(a_{ij})$，且$\mathcal{B}$在基$ \eta_1,\cdots,\eta_n$下的矩阵为$B$。由于对于$1 \leq i, j \leq n$，有

$$B=(b_{ij})$$ $$a_{ji}=(\mathcal{A} \eta_i,\eta_j)=(\eta_i,\mathcal{B}\eta_j)=\overline{(\mathcal{B}\eta_j,\eta_i)}=\bar{b_{ij}}$$

因此$A’=\bar{B}$。从而$B=A^\dagger$。也就是说一个变换的伴随变换在标准正交基下对应的矩阵是原矩阵的共轭转置，所以伴随变换$\mathcal{B}$也可以直接记为$\mathcal{A}^\dagger$。