$Hermite$变换又叫做自伴随变换,实际上它就是一种特殊的伴随变换,伴随变换后面的博文会写,这篇博文主要关注于$Hermite$变换和其对应的$Hermite$矩阵。实际上如果限定为实数域的话,酉空间就变成了欧几里得空间,$Hermite$变换就和对称变换是一样的(印象中是叫对称变换),$Hermite$矩阵就和对称矩阵是一样的,但一旦回到复数域,$Hermite$变换和$Hermite$矩阵的性质就更加丰富和本质。
一 $Hermite$变换
酉空间$V$上的$Hermite$变换$\mathcal{A}$如果满足
则称$\mathcal{A}$是$V$上的一个$Hermite$变换。
1.1 $Hermite$变换$\mathcal{A}$一定是线性变换
证明思想很简单,直接利用定义即可,对于任意$\alpha ,\beta \in V$,任取$\gamma \in V$,有:
因此$(\mathcal{A}(\alpha+\beta)-(\mathcal{A}\alpha+\mathcal{A}\beta), \gamma)=0$。从而$\mathcal{A}(\alpha+\beta)=\mathcal{A}\alpha+\mathcal{A}\beta$。类似可证$\mathcal{A}(k \alpha)=k\mathcal{A}\alpha$,$ \forall k \in \mathbb{C}$。因此$\mathcal{A}$是$V$上的一个线性变换。
1.2 变换$\mathcal{A}$是$Hermite$变换当且仅当变换$\mathcal{A}$在任意一个标准正交基下的矩阵$A$满足$A^\dagger =A$
也就是说矩阵$A$的共轭转置一定等于它本身,这个的证明也并不复杂,可以先证明必要性,任取一个标准正交基$\eta_1,\cdots,\eta_n$,设
则$\mathcal{A} \eta_j $在标准正交基$ \eta_1,\cdots,\eta_n$下的坐标的第$i$个分量为
因此有:
显然就可得出$A^\dagger =A$。至于充分性,如果$A^\dagger =A$,那根据上面的证法,对任意的一个标准正交基$\eta_1,\cdots,\eta_n$,都有
也就是说此时的变换$\mathcal{A}$对标准正交基满足$(\mathcal{A}\eta_j,\eta_i)=(\eta_j,\mathcal{A}\eta_i)$,当然可以平凡的证明$\forall \alpha, \beta \in V$,变换$\mathcal{A}$满足$(\mathcal{A} \alpha , \beta)=(\alpha ,\mathcal{A} \beta) $,即为$Hermite$变换。
1.3酉空间$V$上的$Hermite$变换的特征值一定为实数
首先数域为复数域,那特征值就必然存在,只是有可能为复数也有可能为实数,设$\lambda_1$是$Hermite$变换$\mathcal{A}$的一个特征值,$\xi$是$\mathcal{A}$的属于$\lambda_1$的一个特征向量,则有:
由此得出$(\lambda_1-\bar{\lambda_1})(\xi,\xi)=0$,$\xi$一定是非零的向量(因为$\xi$对应的元素一定是非零元素),则必有$\lambda_1=\bar{\lambda_1}$,则显然特征值必为实数。
二 $Hermite$矩阵
接下来给出一些常用的$Hermite$矩阵的性质,它和$Hermite$变换有一些相似之处,但本质不同,先考虑变换,在考虑矩阵。
2.1 任意一个$Hermite$矩阵都可以酉相似与一个实对角矩阵
证明思路非常简单,首先$Hermite$矩阵一定是正规矩阵,正规矩阵一定可以酉对角化,则$Hermite$矩阵也可以酉对角化,只需证明$Hermite$矩阵的特征值全为实数即可。因为矩阵与对应变换的特征值实际上是一个概念,所以前面已经证过了$Hermite$矩阵的特征值全为实数,所以原命题得证,任意一个$Hermite$矩阵都可以酉相似与一个实对角矩阵
正规变换与正规矩阵其余博文里会进行总结。另外矩阵与对应变换的“特征向量”的概念是有一些差异的,对矩阵来说,特征向量就是$\mathbb{C}^n$中的一个向量,但变换的特征向量是$V$中的一个元素。
2.2 $Hermite$矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交
证明思路非常简单,首先$Hermite$矩阵一定是正规矩阵,正规矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交,所以原命题得证,正规变换与正规矩阵其余博文里会进行总结。
三 $Hermite$变换和酉变换的联系和区别
$Hermite$变换和酉变换的并没有什么特殊的联系,他们是两个不同性质的线性变换,酉变换可能是$Hermite$变换,也可能不是,$Hermite$变换可能是酉变换也可能不是。但酉变换和$Hermite$变换都是正规变换,后面的博文里会讲。
一般来讲,酉变换的要求是最多的,$Hermite$变换次之,正规变换是要求最少的,也是性质最根本的变换。
- 本文作者: sklois-gjx
- 本文链接: http://yoursite.com/2020/04/24/Hermite变换与Hermite矩阵/
- 版权声明: 本博客所有文章除特别声明外,均采用 MIT 许可协议。转载请注明出处!