酉变换和酉矩阵在量子信息中是非常重要的,本篇博文给出他们的基本定义和常用性质。实际上如果限定数域为实数域的话,酉空间就变成了欧几里得空间,酉变换就是正交变换,酉矩阵就是正交矩阵,但一旦回到复数域,酉变换和酉矩阵的性质就更加丰富和本质。
一 酉变换
酉空间$V$到自身的满射变换$\mathcal{A}$如果保持内积不变,即
则称$\mathcal{A}$是$V$上的一个酉变换。
应该注意的是,这里的酉空间维数并没有限制,且没有对$\mathcal{A}$的线性做出要求,只要求是满射且保持内积不变即可,实际上有如下定理:
1.1 酉变换一定是线性变换,且为双射
证明:思想并不复杂,直接利用内积不变性即可,首先$\forall \alpha,\beta ,\gamma \in V$有:
这里的$\beta $是任意取的,$\mathcal{A}$又是满射,则$\mathcal{A}\beta$可以取任何$V$中的元素,则必有$\mathcal{A}(\alpha+\gamma)=\mathcal{A}\alpha+\mathcal{A}\gamma$。同理,$\forall k \in \mathbb{C}$,有:
同理有$\mathcal{A}(k\alpha)=k\mathcal{A}\alpha$,所以酉变换一定是线性变换,则显然也是单射,所以酉变换一定是线性变换,且为双射。
另外还有比较平凡的性质:
1,酉变换的复合还是酉变换,酉变换的逆还是酉变换
2,酉变换将标准正交基映成标准正交基
3,酉变换在标准正交基下对应的矩阵是酉矩阵(利用内积不变可以直接证明)
酉变换将标准正交基映成标准正交基,这个性质并不依赖于酉变换的线性性质,只依赖于酉变换的内积不变性,所以对于一个有限维酉空间,只要一个变换满足内积不变性,那就将标准正交基映成标准正交基,又根据维数有限,则此变换肯定就是满射,所以是酉变换。故有限维酉空间只需要变换满足内积不变性,就是酉变换,无限维酉空间还需要满足变换是一个满射,这是维数无限与有限的一个区别。
二 酉矩阵
酉矩阵的定义非常简单,复数域上的$n$级矩阵$P$如果满足$P^{\dagger}P=I$,则称$P$是酉矩阵,其中$P^\dagger$是矩阵$P$的共轭转置。酉矩阵的基础性质非常丰富,包括特征值,矩阵分解等等,下面一一给出酉矩阵比较重要的几个性质。
2.1 $n$级矩阵是酉矩阵,当且仅当矩阵的$n$个行向量或$n$个列向量都是酉空间$\mathbb{C}^n$上的一组单位正交向量。
证明是很平凡的证明,见丘维声高等代数学习指导书上册247页例22
2.2 两个$n$级酉矩阵的乘积还是酉矩阵,酉矩阵的逆还是酉矩阵,且$(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger$,$(A^{-1})^\dagger=(A^\dagger)^{-1}$。
证明是很平凡的证明,见丘维声高等代数学习指导书上册247页例23
2.3 酉矩阵的行列式值是一个复数,其模长为1
证明是很平凡的证明,见丘维声高等代数学习指导书上册247页例24
2.4 $n$级酉矩阵一定可以酉相似于一个对角矩阵
证明思想很简单,因为酉矩阵一定是正规矩阵,而正规矩阵与酉相似对角化等价,则酉矩阵一定可以酉相似对角化。正规变换和正规矩阵会在后面的博文里涉及到。
2.5 酉矩阵的特征值是一个复数,其模长为1
证明:$n$级酉矩阵$A$一定可以酉相似于一个对角矩阵$D$,则此对角矩阵对角上的$n$个值就是特征值,设$D=diag \lbrace \lambda_1,\lambda_2, \cdots ,\lambda_n \rbrace$,则有$P^{-1}AP=D$,则有:
因此$\lambda_j \bar{\lambda_j}=1$,从而$|\lambda_j|=1$,于是命题得证,酉矩阵的特征值是一个模长为1的复数,可以记做
2.6 酉矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交
这是比较特殊的一个点,因为普通矩阵属于不同特征值的特征向量一定线性无关,但不一定正交。这个的证明思想也非常简单,因为酉矩阵是正规矩阵,而正规矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交,所以酉矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交。正规变换和正规矩阵会在后面的博文里涉及到。
2.7 给出所有的2级酉矩阵
这个问题在量子信息中是有实际应用的,因为单量子比特的所有量子电路门都可以抽象成为一个2级酉矩阵。这个的求解思路也非常简单,首先设2级酉矩阵为
由$A^{-1}=A^{\dagger}$,有
由此得出
需要注意的是,非常显然的,如果想要确定出$a{22}$,$a{12}$得值,必须先确定$|A|$,$a{11}$,$a{21}$的值才可以,只得到这三个中多的任意两个是不可能得到所有值得。
由于酉矩阵的行列式值模长为一,所以$|A|=1$,由于酉矩阵的列向量组是一组标准正交基,则有
于是可以假设有$\theta(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$,使得
因此可设有$0 \leq \theta_j < 2 \pi, j=1,2,3$使得
于是可以求得
直接验证可以知道,形如上矩阵的矩阵都是酉矩阵,于是上式的确给出了所有的2级酉矩阵,其中$\theta(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$,$0 \leq \theta_j < 2 \pi, j=1,2,3$。也可以把上式写成下述形式:
这就是在量子信息中非常常用的表达方式。
2.8 还有一个性质
之前老师讲过任意一个多量子比特门都可以被Toffli门,CNOT门,(还有一个门我忘记了。。)来模拟,证明过程中也用到了酉矩阵的一些性质(实际上就是任一个酉矩阵都可以分解成固定几种酉矩阵的乘积),但由于当初课上的笔记还在学校,这个证明我后面遇到再补吧,印象中丘维声的高等代数学习指导书中有类似证明。
- 本文作者: sklois-gjx
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