量子信息中的狄拉克符号

2020-04-22

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狄拉克符号是量子信息中非常重要的符号，我的教材中给了狄拉克符号的一些性质，但我总是不太理解，查阅了一些资料算是有些理解了，不一定正确，但至少说服了我自己，暂且将我的理解记录在这篇博文里。

物理层面

首先从物理层面理解，先考虑量子态，量子态有叠加等一系列运算，这些运算满足如下性质：

$\left\{ \begin{array}{l} T_A + T_B = T_C\\ c \cdot T_A = T_{A^*} \leftrightarrow {T_A} \end{array} \right.$

其中量子态$T_{A^*}$与量子态$T_A$对应同一个量子态。可以发现，这个性质与线性空间中的加法和数量乘法存在相似性：

$\left\{ \begin{array}{l} A + B = C\\ c \cdot A = A^* \leftrightarrow A \end{array} \right.$

其中向量$A^*$与向量$A$是同方向的。由此，狄拉克将$A$量子态对应于$A$矢量，记做右矢$|A\rangle$，所以狄拉克将量子态归入到了$Hilbert$空间中。

接着是左矢的引入，从我的理解来看，量子态存在着类似于线性赋范空间上线性泛函的物理操作$\phi$，为了记号更加统一，狄拉克就将$\phi$记做$\langle \cdot |$，它就抽象成为量子态对应$Hilbert$空间上的一个线性泛函，满足

$\left\{ \begin{array}{l} \langle \cdot | (|A\rangle+|A' \rangle) = \langle \cdot |A\rangle+\langle \cdot |A' \rangle \\ \langle \cdot |(c\cdot |A\rangle) = c\langle \cdot |A\rangle \end{array} \right.$

另外狄拉克关于$\langle \cdot |\cdot\rangle$给出了两条公设(或$axiom$)

$\langle A |B\rangle=\langle B |A\rangle^*$ $\langle A |A\rangle \geq 0$

这是狄拉克所规定的的，不加证明即可认可。

数学层面

非常有趣，如果狄拉克没有给出上面的两条公设的话，$\langle \cdot |$只是一个线性泛函而已，再加上那两条公设，$\langle \cdot |$就成为了一个标准的酉空间“内积”，但注意这里的内积是打引号的，因为酉空间$V$的内积是$V \times V \rightarrow \mathbb{C}$，而这里的这个泛函可以想成$V \times \gamma \rightarrow \mathbb{C}$，这里遵循与内积相同的性质，但$\gamma$是一个固定值，只有$V$中的元素在变，也就是：

$\left\{ \begin{array}{l} V \times V \rightarrow \mathbb{C}:(\alpha,\beta)\rightarrow c\\ \langle \cdot |(x): (x,\gamma)\rightarrow c,x\in V \end{array} \right.$

狄拉克为什么要给出这两条公设？我也不知道，可能是出于物理上的考量吧。

设$V$的一组标准正交基为$e_1,e_2,\cdots ,e_n$，则$V^*$有与$e_1,e_2,\cdots ,e_n$对应的对偶基$f_1,f_2,\cdots ,f_n$如下：

$f_1=(x,e_1)$ $f_2=(x,e_2)$ $\vdots$ $f_n=(x,e_n)$

其中$(x,e_i)$是$x$与$e_i$的内积，本质上就是将$x$的向量表示的第$i$个坐标值提取出来。则$V$与$V^*$之间存在一个平凡的同构映射如下：

$\alpha \mapsto f_{\alpha}$ $\alpha=a_1e_1+\cdots+a_ne_n \mapsto f_{\alpha}=a_1f_1+\cdots a_nf_n$

可以说$\alpha$的对偶向量就是$f_{\alpha}$，它显然是一个泛函，如果把$\alpha$记成$|v \rangle$：

则$f_{\alpha}$就是$\langle v|$

$\begin{aligned} \langle v |v\rangle &= f_{\alpha}(\alpha) \\ &=(a_1f_1+ \cdots +a_nf_n)(\alpha) \\ &=a_1f_1\alpha+ \cdots +a_nf_n\alpha \\ &=a_1^2+ \cdots +a_n^2 \geq 0 \end{aligned}$

关键的地方在于，根据狄拉克符号的规定$\langle v |v\rangle \geq 0$，如果$a_1\cdots a_n$都是复数，那$a_1^2+ \cdots +a_n^2$不一定$\geq 0$，所以要将前面的同构做修改:

$\alpha=a_1e_1+\cdots+a_ne_n \mapsto f_{\alpha}=\bar{a_1}f_1+\cdots \bar{a_n}f_n$

这种情况下就满足狄拉克的公设了，也能看出来$\langle v |$必然是共轭转置。