量子信息里面用到最多的是$Hilbert$空间,内积的一些性质也会用到,但这部分内容很多我已经记忆模糊了,似懂非懂,这篇博文里我会把这些基础的定义描述清楚,以后如果再忘的话可以及时翻阅。
现代数学的一个重要特点就是以集合为研究对象,这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来,变成同一个问题,当然这样的坏处就是描述起来比较抽象,难以理解。既然是研究集合,每个人感兴趣的角度不同,研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合,必须给集合赋予一些“结构”(从一些具体问题,具体现象抽象出来的结构)。从数学的本质来看,最基本的集合有两类:线性空间(有线性结构的集合)、度量空间(有度量结构的集合)。
线性空间前面的博文已经有过描述,本身结构并不复杂,对线性空间而言,主要研究集合的描述,直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子,并不涉及到元素之间的关系,所以为了描述清楚,就引入了基(相当于三维空间中的坐标系)的概念,所以对于一个线性空间来说,只要知道其基即可,集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。
度量空间的定义并不复杂,称$V$(非空集合)是一个数域$K$上的度量空间,如果$V$是数域$K$上的线性空间且$V$中定义了一个度量(距离)$d$,满足如下条件:
因为有度量,所以可以在度量空间引入极限,但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是,极限点可能不在原来给定的集合中,所以又引入了完备的概念。
范数
单纯的线性空间结构非常简单,其中的元素是没有“长度”的概念的,为了量化线性空间中的元素,给出更复杂的抽象结构,又在线性空间引入特殊的“长度”,即范数概念。赋予了范数的线性空间即称为赋范线性空间,范数概念如下:
范数定义
定义:设$V$是线性空间,函数$||\cdot||:V \rightarrow [0,\infty)$称为$V$上定义的一个范数,如果满足:内积
虽然线性空间被赋予了范数,但范数仅仅能表示一个元素的长度,所以赋范线性空间中两个元素之间是没有角度概念的,为了解决该问题,又在线性空间中引入了内积的概念,定义了内积的空间称为内积空间。
内积定义
定义:设$K$是实数域或复数域,$V$是数域$K$上的线性空间,如果对于$V$中的任何两个向量$x,y$,都对应着一个数$(x,y) \in K$,满足条件:内积,范数,度量之间的联系
首先度量可以理解为与内积和范数不相关的定义,度量更加的基础,从度量的定义也可以看出,度量是$V$中元素间的关系,与数域$K$没有什么联系,而内积和范数的线性性质都需要数域$K$的参与。
这三种结构中,内积是最强的,或者说内积的定义要求最高,内积可以诱导范数,范数可以诱导度量,内积当然也可以诱导度量,且与其诱导的范数所诱导的度量是相同的。
内积诱导范数:$||x||=\sqrt{(x,x)}$ 范数诱导度量:$d(x,y)=||x-y||$ 内积诱导度量:$d(x,y)=\sqrt{(x-y,x-y)}$内积和范数的联系比较特殊,首先内积可以无条件诱导出范数,然后这些由内积诱导的范数可以通过一些特殊的构造诱导出内积(因为由内积诱导的范数必定满足平行四边形法则)。但内积并不等同于范数,因为有一类特殊的线性赋范空间存在,它存在范数,但这个范数不满足平行四边形公式,构造不出内积。
空间的定义和联系
1,线性空间加入范数成为线性赋范空间
2,线性空间加入内积成为内积空间(内积可以诱导范数,当然也是线性赋范空间),根据线性空间的数域不同,分为实内积空间与复内积空间。
3,完备的内积空间是$Hilbert$空间
4,实内积空间称为欧几里得空间(有限维)
5,复内积空间称为酉空间(有限维)
量子信息里$Hilbert$空间是非常重要的,只要有完备这个性质即可,所以酉空间和欧几里得空间在某些度量下都可以称为$Hilbert$空间,而且由于量子信息大多牵涉到复数,酉空间是更加常见的,尤其是酉空间上的酉矩阵。
- 本文作者: sklois-gjx
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