研一的上学期我的舍友问了我一个让我非常惊讶的问题，可逆矩阵为什么一定可交换？也就是为什么有$A^{-1}A=AA^{-1}=I$，我当时有点懵，因为自从我读研之后，都在学习可证明安全性的一些理论，基础的代数定义我很久没看了，一时间竟然没有想出来为什么。。所以数学的东西对于我来说是有点“健忘”的，后来仔细一想， 发现就是矩阵的逆的基本定义，如伴随矩阵，所以还是把这些小细节记在博文里吧。

    首先根据代数余子式的一些定理，有下式成立：

$$\sum\limits_{j = 1}^n a_{ij}A_{kj} =|A| \quad k=i \quad \sum\limits_{j = 1}^n a_{ij}A_{kj} =0 \quad k\neq i$$ $$\sum\limits_{i = 1}^n a_{ij}A_{ik} =|A| \quad k=j\quad \sum\limits_{i = 1}^n a_{ij}A_{ik} =0 \quad k\neq j$$

也就是按行展开和按列展开，只有代数余子式和列数行数相同时才得到行列式的值，否则就是0，是基础的行列式里的定理。

由此定义伴随矩阵$A^*$如下：

$$A^*=\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right)$$

则有

$$\left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right]$$ $$=\left(\begin{array}{cccc} |A| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & |A| & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A| \end{array}\right)=|A|I$$

显然可交换，则由$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A$可知必有$A^{-1}A=AA^{-1}=I$， 即可逆矩阵必然可交换。