线性空间是代数里非常基础的一个定义，几年前刚学的时候我也仅仅感觉是一个定义而已，但现在回头看，发现这种基础的代数结构所能承载的信息真的很大，并不是我以前想象的那么简单，当然线性空间也是更复杂空间的基础，比如量子信息中常用到的$Hilbert$空间。

    给出定义前先给出一些基础定义如下：

笛卡尔积：$S \times M := \lbrace (a,b)|a \in S, b \in M \rbrace$称为$S$与$M$的笛卡尔积

代数运算：非空集合$S$上的一个代数运算是指$S \times S$到$S$的一个映射 (代数运算重要的点是封闭性，这在以后群的定义中也会用到)

    由此给出线性空间定义如下:

设$V$是一个非空集合，$K$是一个数域，$V$上有一个代数运算如下，称为加法

$$(\alpha ,\beta ) \mapsto \alpha + \beta$$

$K$与$V$之间有一个运算如下，称为数量乘法

$$(k,\alpha ) \mapsto k\alpha$$

加法与数量乘法满足如下8条法则，加法与数量乘法各4条:

$1^0 \quad \alpha + \beta =\beta +\alpha, \forall \alpha ,\beta \in V$ $2^0 \quad (\alpha + \beta ) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma ) \quad \forall \alpha ,\beta ,\gamma \in V$ $3^0 \quad V$中有一个元素，记成$0$，满足$\alpha+0=\alpha, \forall \alpha \in V$，把$0$称为$V$的零元 $4^0 \quad $对于$\alpha \in V$，有$\beta \in V$，使$\alpha + \beta =0$，把$\beta$称为$\alpha$的负元 $5^0 \quad $存在元素$1\in K$，使得$1\alpha=\alpha, \forall \alpha \in V$ $6^0 \quad (kl) \alpha=k(l \alpha),\forall k,l \in K,\alpha \in V$ $7^0 \quad (k+l) \alpha =k \alpha +l\alpha, \forall k,l \in K,\alpha \in V$ $8^0 \quad k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta, ,\forall k \in K,\alpha ,\beta \in V$

则$V$称为数域$K$上的一个线性空间。

    可以发现， 线性空间就是一个加法群再配上一个特殊的数乘运算，这样就表示了一种特殊的代数结构，称为数乘是因为$K$一定是一个数域，这个$K$可以和$V$一样也可以不一样，这是空间的结构相比于群更丰富的一个原因。